책장 › 공통수학1 › 1장 다항식 › 1-1
한 줄 직관 — 다항식 계산은 x x x 세로셈과 똑같아요. 다른 점은 딱 하나, 받아올림이 없다 는 것.
다항식 정리하기 — 말 정리, 내림차순·오름차순, 한 문자 기준
덧셈·뺄셈 — 동류항끼리 = 같은 자리끼리
곱셈 — 분배법칙(넓이로 보기), 곱셈 공식과 그 변형
나눗셈 — “맨 앞 항 지우기”를 되풀이, A = B Q + R A = BQ + R A = B Q + R
식 세우기 — 현실 문제를 다항식으로(5단계)
231이라는 수는 사실 이렇게 생긴 식이에요.
231 = 2 × 10 2 + 3 × 10 + 1 231 = 2\times 10^2 + 3\times 10 + 1 231 = 2 × 1 0 2 + 3 × 10 + 1 여기서 10을 x x x 2 x 2 + 3 x + 1 2x^2 + 3x + 1 2 x 2 + 3 x + 1 차수(x 2 x^2 x 2 x x x 와 같은 역할을 해요.
그림 1. 231 + 145 세로셈과 다항식 덧셈을 자리별로 비교 말 정리 (2 x 2 + 3 x + 1 2x^2 + 3x + 1 2 x 2 + 3 x + 1
말 뜻 예 항 + + + − - − 2 x 2 2x^2 2 x 2 3 x 3x 3 x 1 1 1 계수 문자 앞에 곱해진 수 x 2 x^2 x 2 차수 한 항에 곱해진 문자의 개수 2 x 2 2x^2 2 x 2 상수항 문자가 없는 항 1 1 1 동류항 문자와 차수가 같은 항 3 x 3x 3 x − 5 x -5x − 5 x 다항식의 차수 가장 높은 항의 차수 2차식
동류항은 같은 자리에 있는 숫자 라고 생각하면 돼요.
수를 큰 자리부터 쓰듯, 다항식도 보통 차수가 높은 항부터 써요.
내림차순: x 3 − 2 x 2 + 5 x − 1 x^3 - 2x^2 + 5x - 1 x 3 − 2 x 2 + 5 x − 1
오름차순: − 1 + 5 x − 2 x 2 + x 3 -1 + 5x - 2x^2 + x^3 − 1 + 5 x − 2 x 2 + x 3
문자가 여럿이면 기준 문자를 하나 정해요. 기준이 아닌 문자는 숫자처럼 취급해요.
예) 3 x y 2 − 2 x 2 + y − 5 + x 2 3xy^2 - 2x^2 + y - 5 + x^2 3 x y 2 − 2 x 2 + y − 5 + x 2 x x x
동류항부터: − 2 x 2 + x 2 = − x 2 -2x^2 + x^2 = -x^2 − 2 x 2 + x 2 = − x 2
x x x x 2 x^2 x 2 − x 2 -x^2 − x 2 x x x 3 y 2 x 3y^2x 3 y 2 x x x x y − 5 y - 5 y − 5 결과: − x 2 + 3 y 2 x + ( y − 5 ) -x^2 + 3y^2x + (y - 5) − x 2 + 3 y 2 x + ( y − 5 )
여기서 y y y
위 그림처럼 동류항끼리 계수를 더하거나 빼면 끝이에요.
( 2 x 2 + 3 x + 1 ) + ( x 2 + 4 x + 5 ) = 3 x 2 + 7 x + 6 \begin{aligned}
&(2x^2 + 3x + 1) + (x^2 + 4x + 5) \\
&= 3x^2 + 7x + 6
\end{aligned} ( 2 x 2 + 3 x + 1 ) + ( x 2 + 4 x + 5 ) = 3 x 2 + 7 x + 6 x = 10 x = 10 x = 10 231 + 145 = 376 231 + 145 = 376 231 + 145 = 376
뺄셈은 괄호를 풀 때 부호만 조심 하면 돼요. 빼는 식의 모든 항 의 부호가 바뀌어요.
( 3 x 2 − x + 4 ) − ( x 2 − 5 x + 2 ) = 3 x 2 − x + 4 − x 2 + 5 x − 2 = 2 x 2 + 4 x + 2 \begin{aligned}
&(3x^2 - x + 4) - (x^2 - 5x + 2) \\
&= 3x^2 - x + 4 - x^2 + 5x - 2 \\
&= 2x^2 + 4x + 2
\end{aligned} ( 3 x 2 − x + 4 ) − ( x 2 − 5 x + 2 ) = 3 x 2 − x + 4 − x 2 + 5 x − 2 = 2 x 2 + 4 x + 2 덧셈은 순서를 바꿔도(교환법칙), 묶는 방법을 바꿔도(결합법칙) 결과가 같아요. 수와 똑같아요.
가로가 a + b a+b a + b c + d c+d c + d ( a + b ) ( c + d ) (a+b)(c+d) ( a + b ) ( c + d ) a c + a d + b c + b d ac + ad + bc + bd a c + a d + b c + b d
그림 2. 가로 a+b, 세로 c+d 직사각형을 네 조각으로 나눈 그림 ( a + b ) ( c + d ) = a c + a d + b c + b d (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd ( a + b ) ( c + d ) = a c + a d + b c + b d 다항식의 곱셈은 전부 이것 하나 예요. 앞 괄호의 항 하나하나를 뒤 괄호의 항 전부와 곱해서 더하면 돼요. 같은 문자끼리 곱할 땐 지수를 더해요: x 2 ⋅ x 3 = x 5 x^2 \cdot x^3 = x^5 x 2 ⋅ x 3 = x 5
예) 앞 괄호의 x x x 2 2 2
( x + 2 ) ( x + 3 ) = x 2 + 3 x + 2 x + 6 = x 2 + 5 x + 6 \begin{aligned}
(x+2)(x+3) &= x^2 + 3x + 2x + 6 \\
&= x^2 + 5x + 6
\end{aligned} ( x + 2 ) ( x + 3 ) = x 2 + 3 x + 2 x + 6 = x 2 + 5 x + 6 x = 10 x = 10 x = 10 12 × 13 = 156 12 \times 13 = 156 12 × 13 = 156
( x + 5 ) ( x + 7 ) = x 2 + 12 x + 35 (x+5)(x+7) = x^2 + 12x + 35 ( x + 5 ) ( x + 7 ) = x 2 + 12 x + 35 15 × 17 = 255 15 \times 17 = 255 15 × 17 = 255 12 x 12x 12 x 35 35 35 x x x x = 10 x = 10 x = 10 100 + 120 + 35 = 255 100 + 120 + 35 = 255 100 + 120 + 35 = 255
그림 3. 한 변이 a+b 인 정사각형을 네 조각으로 나눈 그림
공식 기억법 ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 ( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 정사각형 두 개 + 직사각형 두 개 (위 그림) ( a − b ) 2 = a 2 − 2 a b + b 2 (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 ( a − b ) 2 = a 2 − 2 ab + b 2 위에서 b b b − b -b − b ( a + b ) ( a − b ) = a 2 − b 2 (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 ( a + b ) ( a − b ) = a 2 − b 2 가운데 두 항이 지워짐 ( x + a ) ( x + b ) = x 2 + ( a + b ) x + a b (x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab ( x + a ) ( x + b ) = x 2 + ( a + b ) x + ab 합은 가운데, 곱은 끝 ( a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 a b + 2 b c + 2 c a (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca ( a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 ab + 2 b c + 2 c a 3×3 조각 9개 ( a + b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 ( a + b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 계수 1, 3, 3, 1 ( a − b ) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3 (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 ( a − b ) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3 부호가 번갈아 ( a + b ) ( a 2 − a b + b 2 ) = a 3 + b 3 (a+b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3 ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) = a 3 + b 3 펼치면 가운데가 다 지워짐 ( a − b ) ( a 2 + a b + b 2 ) = a 3 − b 3 (a-b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3 ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) = a 3 − b 3 〃
외우기 전에 분배법칙으로 한 번씩 직접 펼쳐 보세요. 전부 거기서 나와요.
a + b a+b a + b a b ab ab
a 2 + b 2 = ( a + b ) 2 − 2 a b a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab a 2 + b 2 = ( a + b ) 2 − 2 ab ( a − b ) 2 = ( a + b ) 2 − 4 a b (a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab ( a − b ) 2 = ( a + b ) 2 − 4 ab a 3 + b 3 = ( a + b ) 3 − 3 a b ( a + b ) a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b) a 3 + b 3 = ( a + b ) 3 − 3 ab ( a + b ) a 3 − b 3 = ( a − b ) 3 + 3 a b ( a − b ) a^3 - b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b) a 3 − b 3 = ( a − b ) 3 + 3 ab ( a − b ) 첫 줄은 그림 그대로예요. 큰 정사각형 ( a + b ) 2 (a+b)^2 ( a + b ) 2 2 a b 2ab 2 ab a 2 + b 2 a^2 + b^2 a 2 + b 2
이 절에서 가장 낯선 부분이에요. 천천히, 한 단계씩 가요. 다음 절(1-2)에서는 더 빠른 방법(조립제법)도 나와요.
사탕 17개를 5개씩 묶으면 3묶음이 되고 2개가 남아요.
17 = 5 × 3 + 2 17 = 5 \times 3 + 2 17 = 5 × 3 + 2 남은 2는 5보다 작아야 해요. 5개 이상 남았다면 한 묶음을 더 만들 수 있으니까요.
다항식의 나눗셈도 똑같은 말이에요.
A = B × Q + R A = B \times Q + R A = B × Q + R (A A A B B B Q Q Q R R R
다만 다항식에서 “작다”는 차수가 낮다 는 뜻이에요. 나머지 R R R B B B
( x 2 + 2 x + 3 ) ÷ ( x + 1 ) (x^2 + 2x + 3) \div (x + 1) ( x 2 + 2 x + 3 ) ÷ ( x + 1 ) 매번 맨 앞 항을 지워요. 한 바퀴는 ① 나누기 → ② 곱하기 → ③ 빼기.
1번째 바퀴
① 나누기 — 맨 앞끼리만 봐요. x + 1 x + 1 x + 1 x 2 x^2 x 2 x x x x x x
② 곱하기 — 그 x x x x ( x + 1 ) = x 2 + x x(x + 1) = x^2 + x x ( x + 1 ) = x 2 + x
③ 빼기 — ( x 2 + 2 x + 3 ) − ( x 2 + x ) = x + 3 (x^2 + 2x + 3) - (x^2 + x) = x + 3 ( x 2 + 2 x + 3 ) − ( x 2 + x ) = x + 3
괄호 앞이 빼기라 뒤 식의 부호가 모두 바뀌어요: x 2 + 2 x + 3 − x 2 − x x^2 + 2x + 3 - x^2 - x x 2 + 2 x + 3 − x 2 − x
맨 앞 x 2 x^2 x 2 이게 목표였어요.
2번째 바퀴 — 남은 x + 3 x + 3 x + 3
① 나누기 — x + 1 x + 1 x + 1 x x x 1 1 1 + 1 +1 + 1
② 곱하기 — 1 × ( x + 1 ) = x + 1 1 \times (x + 1) = x + 1 1 × ( x + 1 ) = x + 1
③ 빼기 — ( x + 3 ) − ( x + 1 ) = 2 (x + 3) - (x + 1) = 2 ( x + 3 ) − ( x + 1 ) = 2
멈춤 — 남은 2 2 2 x x x x + 1 x + 1 x + 1 2 2 2
그림 4. 두 바퀴 동안 맨 앞 항이 하나씩 지워지는 나눗셈 단계 결과 : 몫 x + 1 x + 1 x + 1 2 2 2
x 2 + 2 x + 3 = ( x + 1 ) ( x + 1 ) + 2 x^2 + 2x + 3 = (x + 1)(x + 1) + 2 x 2 + 2 x + 3 = ( x + 1 ) ( x + 1 ) + 2 나머지가 0이면 B B B 나누어떨어진다 고 해요.
위 두 바퀴를 한자리에 모아 쓰면 수의 세로셈과 똑같은 모양이 돼요. x = 10 x = 10 x = 10 123 = 11 × 11 + 2 123 = 11 \times 11 + 2 123 = 11 × 11 + 2
그림 5. 123÷11 세로셈과 다항식 나눗셈을 자리별로 비교 A = 2 x 2 − 3 x + 1 A = 2x^2 - 3x + 1 A = 2 x 2 − 3 x + 1 B = x 2 + x − 4 B = x^2 + x - 4 B = x 2 + x − 4 A − 2 B A - 2B A − 2 B
2 B = 2 x 2 + 2 x − 8 2B = 2x^2 + 2x - 8 2 B = 2 x 2 + 2 x − 8 모두 바뀌는 것만 조심하면 돼요.
A − 2 B = ( 2 x 2 − 3 x + 1 ) − ( 2 x 2 + 2 x − 8 ) = 2 x 2 − 3 x + 1 − 2 x 2 − 2 x + 8 = ( 2 − 2 ) x 2 + ( − 3 − 2 ) x + ( 1 + 8 ) = − 5 x + 9 \begin{aligned}
A - 2B &= (2x^2 - 3x + 1) - (2x^2 + 2x - 8) \\
&= 2x^2 - 3x + 1 - 2x^2 - 2x + 8 \\
&= (2-2)x^2 + (-3-2)x + (1+8) \\
&= -5x + 9
\end{aligned} A − 2 B = ( 2 x 2 − 3 x + 1 ) − ( 2 x 2 + 2 x − 8 ) = 2 x 2 − 3 x + 1 − 2 x 2 − 2 x + 8 = ( 2 − 2 ) x 2 + ( − 3 − 2 ) x + ( 1 + 8 ) = − 5 x + 9 답: − 5 x + 9 -5x + 9 − 5 x + 9 (x 2 x^2 x 2
a + b = 5 a + b = 5 a + b = 5 a b = 3 ab = 3 ab = 3 a 2 + b 2 a^2 + b^2 a 2 + b 2 a 3 + b 3 a^3 + b^3 a 3 + b 3
a 2 + b 2 = ( a + b ) 2 − 2 a b = 25 − 6 = 19 a 3 + b 3 = ( a + b ) 3 − 3 a b ( a + b ) = 125 − 3 ⋅ 3 ⋅ 5 = 80 \begin{aligned}
a^2 + b^2 &= (a+b)^2 - 2ab \\
&= 25 - 6 = 19 \\[6pt]
a^3 + b^3 &= (a+b)^3 - 3ab(a+b) \\
&= 125 - 3 \cdot 3 \cdot 5 = 80
\end{aligned} a 2 + b 2 a 3 + b 3 = ( a + b ) 2 − 2 ab = 25 − 6 = 19 = ( a + b ) 3 − 3 ab ( a + b ) = 125 − 3 ⋅ 3 ⋅ 5 = 80 답: 19, 80 — a a a b b b
( 2 x 2 + 7 x + 8 ) ÷ ( x + 2 ) (2x^2 + 7x + 8) \div (x + 2) ( 2 x 2 + 7 x + 8 ) ÷ ( x + 2 )
1번째 바퀴
① 나누기 — x + 2 x + 2 x + 2 2 x 2 2x^2 2 x 2 2 x 2x 2 x
② 곱하기 — 2 x ( x + 2 ) = 2 x 2 + 4 x 2x(x + 2) = 2x^2 + 4x 2 x ( x + 2 ) = 2 x 2 + 4 x
③ 빼기 — ( 2 x 2 + 7 x + 8 ) − ( 2 x 2 + 4 x ) (2x^2 + 7x + 8) - (2x^2 + 4x) ( 2 x 2 + 7 x + 8 ) − ( 2 x 2 + 4 x ) = 3 x + 8 = 3x + 8 = 3 x + 8
2번째 바퀴
① 나누기 — 맨 앞이 3 x 3x 3 x 3 3 3
② 곱하기 — 3 ( x + 2 ) = 3 x + 6 3(x + 2) = 3x + 6 3 ( x + 2 ) = 3 x + 6
③ 빼기 — ( 3 x + 8 ) − ( 3 x + 6 ) = 2 (3x + 8) - (3x + 6) = 2 ( 3 x + 8 ) − ( 3 x + 6 ) = 2
멈춤 — 2 2 2
답: 몫 2 x + 3 2x + 3 2 x + 3 2 2 2
확인 — x = 10 x = 10 x = 10 278 = 12 × 23 + 2 278 = 12 \times 23 + 2 278 = 12 × 23 + 2
도전 예제 — 나누는 식이 2차일 때 (펼쳐 보기)
( 2 x 3 + x 2 − 5 x + 4 ) ÷ ( x 2 + x − 1 ) (2x^3 + x^2 - 5x + 4) \div (x^2 + x - 1) ( 2 x 3 + x 2 − 5 x + 4 ) ÷ ( x 2 + x − 1 )
나누는 식이 2차여도 규칙은 똑같아요. 맨 앞끼리 나누고 → 곱하고 → 빼요.
1번째 바퀴
① 나누기 — x 2 + x − 1 x^2 + x - 1 x 2 + x − 1 2 x 3 2x^3 2 x 3 2 x 2x 2 x
② 곱하기 — 2 x ( x 2 + x − 1 ) = 2 x 3 + 2 x 2 − 2 x 2x(x^2 + x - 1) = 2x^3 + 2x^2 - 2x 2 x ( x 2 + x − 1 ) = 2 x 3 + 2 x 2 − 2 x
③ 빼기 — 남는 식 − x 2 − 3 x + 4 -x^2 - 3x + 4 − x 2 − 3 x + 4
2번째 바퀴
① 나누기 — 맨 앞이 − x 2 -x^2 − x 2 − 1 -1 − 1
② 곱하기 — − 1 ⋅ ( x 2 + x − 1 ) -1 \cdot (x^2 + x - 1) − 1 ⋅ ( x 2 + x − 1 ) = − x 2 − x + 1 = -x^2 - x + 1 = − x 2 − x + 1
③ 빼기 — 남는 식 − 2 x + 3 -2x + 3 − 2 x + 3
멈춤 — − 2 x + 3 -2x + 3 − 2 x + 3
답: 몫 2 x − 1 2x - 1 2 x − 1 − 2 x + 3 -2x + 3 − 2 x + 3
확인 — A = B Q + R A = BQ + R A = B Q + R
( x 2 + x − 1 ) ( 2 x − 1 ) + ( − 2 x + 3 ) = 2 x 3 + x 2 − 5 x + 4 \begin{aligned}
&(x^2 + x - 1)(2x - 1) + (-2x + 3) \\
&= 2x^3 + x^2 - 5x + 4
\end{aligned} ( x 2 + x − 1 ) ( 2 x − 1 ) + ( − 2 x + 3 ) = 2 x 3 + x 2 − 5 x + 4
풀이를 열기 전에 먼저 풀어 보세요. ✍️
문제 1. A = x 2 − 2 x y + 3 y 2 A = x^2 - 2xy + 3y^2 A = x 2 − 2 x y + 3 y 2 B = 2 x 2 + x y − y 2 B = 2x^2 + xy - y^2 B = 2 x 2 + x y − y 2 2 A − B 2A - B 2 A − B
풀이
2 A = 2 x 2 − 4 x y + 6 y 2 2A = 2x^2 - 4xy + 6y^2 2 A = 2 x 2 − 4 x y + 6 y 2
2 A − B = 2 x 2 − 4 x y + 6 y 2 − 2 x 2 − x y + y 2 = − 5 x y + 7 y 2 \begin{aligned}
2A - B &= 2x^2 - 4xy + 6y^2 \\
&\quad - 2x^2 - xy + y^2 \\
&= -5xy + 7y^2
\end{aligned} 2 A − B = 2 x 2 − 4 x y + 6 y 2 − 2 x 2 − x y + y 2 = − 5 x y + 7 y 2
문제 2. 전개하세요. (1) ( x − 3 ) ( x + 5 ) (x - 3)(x + 5) ( x − 3 ) ( x + 5 ) ( 2 a − b ) 2 (2a - b)^2 ( 2 a − b ) 2
풀이
(1) ( x + a ) ( x + b ) (x+a)(x+b) ( x + a ) ( x + b ) − 3 + 5 = 2 -3 + 5 = 2 − 3 + 5 = 2 − 3 × 5 = − 15 -3 \times 5 = -15 − 3 × 5 = − 15 x 2 + 2 x − 15 x^2 + 2x - 15 x 2 + 2 x − 15
(2) ( a − b ) 2 (a-b)^2 ( a − b ) 2 a a a 2 a 2a 2 a ( 2 a ) 2 − 2 ( 2 a ) b + b 2 (2a)^2 - 2(2a)b + b^2 ( 2 a ) 2 − 2 ( 2 a ) b + b 2 4 a 2 − 4 a b + b 2 4a^2 - 4ab + b^2 4 a 2 − 4 ab + b 2
문제 3. ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) (x+1)(x+2)(x+3) ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) x = 10 x = 10 x = 10
풀이
( x + 1 ) ( x + 2 ) = x 2 + 3 x + 2 (x+1)(x+2) = x^2 + 3x + 2 ( x + 1 ) ( x + 2 ) = x 2 + 3 x + 2 ( x + 3 ) (x+3) ( x + 3 )
( x 2 + 3 x + 2 ) ( x + 3 ) = x 3 + 3 x 2 + 3 x 2 + 9 x + 2 x + 6 = x 3 + 6 x 2 + 11 x + 6 \begin{aligned}
&(x^2 + 3x + 2)(x + 3) \\
&= x^3 + 3x^2 + 3x^2 + 9x + 2x + 6 \\
&= x^3 + 6x^2 + 11x + 6
\end{aligned} ( x 2 + 3 x + 2 ) ( x + 3 ) = x 3 + 3 x 2 + 3 x 2 + 9 x + 2 x + 6 = x 3 + 6 x 2 + 11 x + 6 검산: 11 × 12 × 13 = 1716 11 \times 12 \times 13 = 1716 11 × 12 × 13 = 1716 1000 + 600 + 110 + 6 = 1716 1000 + 600 + 110 + 6 = 1716 1000 + 600 + 110 + 6 = 1716
문제 4. a − b = 3 a - b = 3 a − b = 3 a b = 2 ab = 2 ab = 2 a 2 + b 2 a^2 + b^2 a 2 + b 2 a 3 − b 3 a^3 - b^3 a 3 − b 3
풀이
a 2 + b 2 = ( a − b ) 2 + 2 a b = 9 + 4 = 13 a 3 − b 3 = ( a − b ) 3 + 3 a b ( a − b ) = 27 + 18 = 45 \begin{aligned}
a^2 + b^2 &= (a-b)^2 + 2ab \\
&= 9 + 4 = 13 \\[6pt]
a^3 - b^3 &= (a-b)^3 + 3ab(a-b) \\
&= 27 + 18 = 45
\end{aligned} a 2 + b 2 a 3 − b 3 = ( a − b ) 2 + 2 ab = 9 + 4 = 13 = ( a − b ) 3 + 3 ab ( a − b ) = 27 + 18 = 45
문제 5. ( x 2 + 5 x + 7 ) ÷ ( x + 2 ) (x^2 + 5x + 7) \div (x + 2) ( x 2 + 5 x + 7 ) ÷ ( x + 2 )
풀이
1번째 바퀴 — 맨 앞이 x 2 x^2 x 2 x x x x ( x + 2 ) = x 2 + 2 x x(x + 2) = x^2 + 2x x ( x + 2 ) = x 2 + 2 x 3 x + 7 3x + 7 3 x + 7
2번째 바퀴 — 맨 앞이 3 x 3x 3 x 3 3 3 3 ( x + 2 ) = 3 x + 6 3(x + 2) = 3x + 6 3 ( x + 2 ) = 3 x + 6 1 1 1
답: 몫 x + 3 x + 3 x + 3 1 1 1
확인 — x = 10 x = 10 x = 10 157 = 12 × 13 + 1 157 = 12 \times 13 + 1 157 = 12 × 13 + 1
문제 6. 다항식 A A A x 2 + 1 x^2 + 1 x 2 + 1 x − 2 x - 2 x − 2 3 x + 1 3x + 1 3 x + 1 A A A
풀이
A = B Q + R A = BQ + R A = B Q + R
A = ( x 2 + 1 ) ( x − 2 ) + 3 x + 1 = x 3 − 2 x 2 + x − 2 + 3 x + 1 = x 3 − 2 x 2 + 4 x − 1 \begin{aligned}
A &= (x^2 + 1)(x - 2) + 3x + 1 \\
&= x^3 - 2x^2 + x - 2 + 3x + 1 \\
&= x^3 - 2x^2 + 4x - 1
\end{aligned} A = ( x 2 + 1 ) ( x − 2 ) + 3 x + 1 = x 3 − 2 x 2 + x − 2 + 3 x + 1 = x 3 − 2 x 2 + 4 x − 1
문제 7. (도전) ( x 3 + 2 x 2 − x + 3 ) ÷ ( x + 3 ) (x^3 + 2x^2 - x + 3) \div (x + 3) ( x 3 + 2 x 2 − x + 3 ) ÷ ( x + 3 )
풀이
1번째 바퀴 — 맨 앞이 x 3 x^3 x 3 x 2 x^2 x 2 x 2 ( x + 3 ) = x 3 + 3 x 2 x^2(x + 3) = x^3 + 3x^2 x 2 ( x + 3 ) = x 3 + 3 x 2 − x 2 − x + 3 -x^2 - x + 3 − x 2 − x + 3
2번째 바퀴 — 맨 앞이 − x 2 -x^2 − x 2 − x -x − x − x ( x + 3 ) = − x 2 − 3 x -x(x + 3) = -x^2 - 3x − x ( x + 3 ) = − x 2 − 3 x 2 x + 3 2x + 3 2 x + 3
3번째 바퀴 — 맨 앞이 2 x 2x 2 x 2 2 2 2 ( x + 3 ) = 2 x + 6 2(x + 3) = 2x + 6 2 ( x + 3 ) = 2 x + 6 − 3 -3 − 3
답: 몫 x 2 − x + 2 x^2 - x + 2 x 2 − x + 2 − 3 -3 − 3
실수 바른 것 − ( x 2 − 3 x + 2 ) = − x 2 − 3 x + 2 -(x^2 - 3x + 2) = -x^2 - 3x + 2 − ( x 2 − 3 x + 2 ) = − x 2 − 3 x + 2 − x 2 + 3 x − 2 -x^2 + 3x - 2 − x 2 + 3 x − 2 모든 항 의 부호가 바뀜( a + b ) 2 = a 2 + b 2 (a+b)^2 = a^2 + b^2 ( a + b ) 2 = a 2 + b 2 a 2 + 2 a b + b 2 a^2 + 2ab + b^2 a 2 + 2 ab + b 2 x 2 ⋅ x 3 = x 6 x^2 \cdot x^3 = x^6 x 2 ⋅ x 3 = x 6 x 5 x^5 x 5 더함 ( x 3 + 4 ) ÷ ( x − 1 ) (x^3 + 4) \div (x - 1) ( x 3 + 4 ) ÷ ( x − 1 ) x 3 + 0 x 2 + 0 x + 4 x^3 + 0x^2 + 0x + 4 x 3 + 0 x 2 + 0 x + 4 빈 자리에 0 — 세로셈의 0 자리와 같음나머지 차수가 아직 높은데 멈춤 나머지 차수 < 나누는 식 차수가 될 때까지
검산 요령 — 아무 수나 넣어 보기. 식이 맞으면 x x x x = 1 x = 1 x = 1 x = 10 x = 10 x = 10 ( x + 2 ) ( x + 3 ) = x 2 + 5 x + 6 (x+2)(x+3) = x^2 + 5x + 6 ( x + 2 ) ( x + 3 ) = x 2 + 5 x + 6 x = 1 x = 1 x = 1 3 × 4 = 12 3 \times 4 = 12 3 × 4 = 12 1 + 5 + 6 = 12 1 + 5 + 6 = 12 1 + 5 + 6 = 12
계산은 계산기가 해 줘요. 사람이 할 일은 상황을 읽고 식을 세우는 것 이에요. 대학 전공책도 다항식을 이렇게 문제 속에서 다뤄요.
1-1 에서는 아직 방정식(값 구하기)을 배우지 않았어요. 그래서 여기 문제는 식을 세우고 → 정리하고 → 숫자로 확인 하는 데까지예요. “가장 큰 값은?” 같은 질문은 뒤에서 다시 만나요.
모르는 것을 x x x — 바뀌는 양 하나를 정해 x x x 그림이나 표 — 길이·개수·값을 그림이나 표에 적어요.말을 식으로 — “양쪽에 x x x 10 + 2 x 10 + 2x 10 + 2 x 정리 — 이 절에서 배운 계산(전개·동류항·나눗셈)확인하고 문장으로 — 쉬운 수를 넣어 직접 센 값과 맞는지 보고, 답을 말로 써요.
가로 10m, 세로 6m 인 직사각형 정원 바깥 둘레에 폭이 똑같은 길을 내려고 해요. 길의 넓이를 길의 폭으로 나타내세요.
① 모르는 것 — 길의 폭을 x x x
② 그림 — 길까지 합친 큰 직사각형은 가로·세로가 양쪽으로 x x x
그림 6. 정원 바깥 둘레에 폭 x 인 길을 낸 그림 ③ 말을 식으로 — 길의 넓이 = (큰 직사각형) − (정원)
( 10 + 2 x ) ( 6 + 2 x ) − 10 × 6 (10 + 2x)(6 + 2x) - 10 \times 6 ( 10 + 2 x ) ( 6 + 2 x ) − 10 × 6 ④ 정리
( 10 + 2 x ) ( 6 + 2 x ) − 60 = 60 + 20 x + 12 x + 4 x 2 − 60 = 4 x 2 + 32 x \begin{aligned}
&(10 + 2x)(6 + 2x) - 60 \\
&= 60 + 20x + 12x + 4x^2 - 60 \\
&= 4x^2 + 32x
\end{aligned} ( 10 + 2 x ) ( 6 + 2 x ) − 60 = 60 + 20 x + 12 x + 4 x 2 − 60 = 4 x 2 + 32 x ⑤ 확인 — 폭이 1m 라면 식으로 4 + 32 = 36 4 + 32 = 36 4 + 32 = 36 12 × 8 = 96 12 \times 8 = 96 12 × 8 = 96
답 : 길의 넓이는 ( 4 x 2 + 32 x ) (4x^2 + 32x) ( 4 x 2 + 32 x )
가로 20cm, 세로 12cm 인 직사각형 판지의 네 귀퉁이에서 같은 크기의 정사각형을 잘라 내고, 옆면을 접어 올려 뚜껑 없는 상자를 만들어요. 상자의 부피를 잘라 낸 정사각형 한 변의 길이로 나타내세요.
그림 7. 판지 네 귀퉁이를 잘라 접어 상자를 만드는 그림
풀이 — 5단계
① 모르는 것 — 잘라 낸 정사각형 한 변을 x x x
② 그림 — 위 그림처럼 가로·세로가 양쪽에서 x x x
③ 말을 식으로 — 바닥 가로 20 − 2 x 20 - 2x 20 − 2 x 12 − 2 x 12 - 2x 12 − 2 x x x x
V = x ( 20 − 2 x ) ( 12 − 2 x ) V = x(20 - 2x)(12 - 2x) V = x ( 20 − 2 x ) ( 12 − 2 x ) ④ 정리
( 20 − 2 x ) ( 12 − 2 x ) = 240 − 40 x − 24 x + 4 x 2 = 4 x 2 − 64 x + 240 \begin{aligned}
&(20 - 2x)(12 - 2x) \\
&= 240 - 40x - 24x + 4x^2 \\
&= 4x^2 - 64x + 240
\end{aligned} ( 20 − 2 x ) ( 12 − 2 x ) = 240 − 40 x − 24 x + 4 x 2 = 4 x 2 − 64 x + 240 여기에 x x x
V = 4 x 3 − 64 x 2 + 240 x V = 4x^3 - 64x^2 + 240x V = 4 x 3 − 64 x 2 + 240 x ⑤ 확인 — x = 2 x = 2 x = 2 32 − 256 + 480 = 256 32 - 256 + 480 = 256 32 − 256 + 480 = 256 16 × 8 16 \times 8 16 × 8 2 × 16 × 8 = 256 2 \times 16 \times 8 = 256 2 × 16 × 8 = 256
답 : 부피는 ( 4 x 3 − 64 x 2 + 240 x ) (4x^3 - 64x^2 + 240x) ( 4 x 3 − 64 x 2 + 240 x ) x x x
더 생각해 보기 — 어떤 x x x
원가가 6천 원인 물건을 1만 원에 팔면 하루 200개가 팔려요. 가격을 1천 원 올릴 때마다 하루 판매량이 10개씩 줄어요. 가격을 x x x x x x
풀이 — 5단계
① 모르는 것 — 올린 금액을 x x x
② 표
지금 x x x 판매 가격 10 10 + x 10 + x 10 + x 한 개 팔 때 남는 돈 10 − 6 = 4 10 - 6 = 4 10 − 6 = 4 4 + x 4 + x 4 + x 하루 판매량 200 200 − 10 x 200 - 10x 200 − 10 x
③ 말을 식으로 — 이익 = (한 개에 남는 돈) × (판매량)
( 4 + x ) ( 200 − 10 x ) (4 + x)(200 - 10x) ( 4 + x ) ( 200 − 10 x ) ④ 정리
( 4 + x ) ( 200 − 10 x ) = 800 − 40 x + 200 x − 10 x 2 = − 10 x 2 + 160 x + 800 \begin{aligned}
&(4 + x)(200 - 10x) \\
&= 800 - 40x + 200x - 10x^2 \\
&= -10x^2 + 160x + 800
\end{aligned} ( 4 + x ) ( 200 − 10 x ) = 800 − 40 x + 200 x − 10 x 2 = − 10 x 2 + 160 x + 800 ⑤ 확인 — x = 0 x = 0 x = 0 x = 2 x = 2 x = 2 − 40 + 320 + 800 = 1080 -40 + 320 + 800 = 1080 − 40 + 320 + 800 = 1080
답 : 하루 이익은 ( − 10 x 2 + 160 x + 800 ) (-10x^2 + 160x + 800) ( − 10 x 2 + 160 x + 800 )
더 생각해 보기 — 몇 천 원 올릴 때 이익이 가장 클까요? 뒤에서 이차함수를 배우면 풀 수 있어요.
행사에 ( x 2 + 5 x + 7 ) (x^2 + 5x + 7) ( x 2 + 5 x + 7 ) ( x + 2 ) (x + 2) ( x + 2 ) x x x
풀이 — 5단계
① 모르는 것 — 이미 x x x
② 그림 — 사탕을 5개씩 묶은 5절 이야기와 같아요. 조 수 = 몫, 남는 사람 = 나머지.
③ 말을 식으로 — ( x 2 + 5 x + 7 ) ÷ ( x + 2 ) (x^2 + 5x + 7) \div (x + 2) ( x 2 + 5 x + 7 ) ÷ ( x + 2 )
④ 정리 — 5절 방법으로 두 바퀴(연습문제 5와 같은 계산): 몫 x + 3 x + 3 x + 3 1 1 1
⑤ 확인 — x = 10 x = 10 x = 10 12 × 13 + 1 = 157 12 \times 13 + 1 = 157 12 × 13 + 1 = 157
답 : ( x + 3 ) (x + 3) ( x + 3 ) 1명이 남아요. x x x
바닥에 고정된 로봇 팔이 한 바퀴 돌면, 팔 끝이 닿는 곳은 반지름이 팔 길이 r r r d d d r = 50 r = 50 r = 50 d = 5 d = 5 d = 5 π × \pi \times π ×
풀이 — 5단계
① 모르는 것 — 늘어난 넓이. 팔 길이 r r r d d d
② 그림 — 안쪽 원(반지름 r r r r + d r + d r + d
③ 말을 식으로 — 늘어난 넓이 = (바깥 원) − (안쪽 원)
π ( r + d ) 2 − π r 2 \pi(r + d)^2 - \pi r^2 π ( r + d ) 2 − π r 2 ④ 정리 — 곱셈 공식 ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 ( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2
π ( r 2 + 2 r d + d 2 ) − π r 2 = π ( 2 r d + d 2 ) \begin{aligned}
&\pi(r^2 + 2rd + d^2) - \pi r^2 \\
&= \pi(2rd + d^2)
\end{aligned} π ( r 2 + 2 r d + d 2 ) − π r 2 = π ( 2 r d + d 2 ) ⑤ 확인 — r = 50 r = 50 r = 50 d = 5 d = 5 d = 5 π ( 500 + 25 ) = 525 π \pi(500 + 25) = 525\pi π ( 500 + 25 ) = 525 π 2500 π 2500\pi 2500 π 525 ÷ 2500 = 0.21 525 \div 2500 = 0.21 525 ÷ 2500 = 0.21 21% 늘어요.
답 : π ( 2 r d + d 2 ) \pi(2rd + d^2) π ( 2 r d + d 2 ) 1.1 2 = 1.21 1.1^2 = 1.21 1. 1 2 = 1.21
9절에서 상황을 보고 식을 세워 봤죠. 실제 로봇도 같은 일을 해요.
로봇 팔에는 사람 팔꿈치처럼 돌아가는 관절 이 있어요. 관절이 돌아간 각도를 흔히 θ \theta θ
그림 8. 로봇 팔 관절과 돌아간 각도 θ 로봇에게 “2초 동안 팔을 0°에서 90°까지 들어 올려”라고 시키려면, 매 순간 각도가 몇 도여야 하는지 정해 줘야 해요. 로봇을 움직이는 제어기는 1초에도 수백 번씩 “지금은 몇 도”를 계산해서 모터에 보내거든요.
그래서 시간 t t t θ \theta θ 이 필요해요. 여기에 다항식을 써요. 두 가지 식을 비교해 볼게요.
방법 1 — 1차식 θ = 45 t \theta = 45t θ = 45 t 방법 2 — 3차 다항식 θ = 67.5 t 2 − 22.5 t 3 \theta = 67.5\,t^2 - 22.5\,t^3 θ = 67.5 t 2 − 22.5 t 3
두 식에 0.5초마다 t t t
시간 t t t 1차식 45 t 45t 45 t 3차식 0초 0° 0° 0.5초 22.5° 14.1° 1초 45° 45° 1.5초 67.5° 75.9° 2초 90° 90°
둘 다 0° 에서 출발해 90° 에 도착해요. 차이는 0.5초마다 얼마나 움직였는지 에 있어요.
구간 1차식 3차식 0 → 0.5초 22.5° 14.1° (조금) 0.5 → 1초 22.5° 30.9° (많이) 1 → 1.5초 22.5° 30.9° (많이) 1.5 → 2초 22.5° 14.1° (조금)
1차식 은 처음부터 끝까지 같은 빠르기예요. 그래서 가만히 있던 팔이 출발하는 순간 갑자기 그 빠르기로 움직여야 하고, 도착하는 순간 갑자기 멈춰야 해요. 자동차로 치면 급출발·급정거예요. 실제 모터와 기어는 빠르기를 순식간에 바꾸기 어려워서, 팔이 덜컥거리고 흔들리고 부품에 무리가 가요.3차식 은 처음엔 조금, 가운데서 많이, 끝에선 다시 조금 움직여요. 천천히 출발해서 속도를 냈다가 천천히 멈추는 거예요. 운전 잘하는 사람처럼요.
그림 9. 1차식 경로와 3차 다항식 경로 비교 그래프로 보면 기울기(가파른 정도)가 곧 빠르기 예요. 파란 곡선은 처음과 끝이 평평 하고(= 거의 안 움직임 = 느림), 가운데가 가장 가팔라요(= 가장 빠름). 회색 직선은 처음부터 끝까지 기울기가 같고요.
이 식은 네 가지 조건을 맞추도록 고른 거예요.
시작할 때 0° — t = 0 t = 0 t = 0 0 0 0
끝날 때 90° — t = 2 t = 2 t = 2 67.5 × 4 − 22.5 × 8 67.5 \times 4 - 22.5 \times 8 67.5 × 4 − 22.5 × 8 = 270 − 180 = 90 = 270 - 180 = 90 = 270 − 180 = 90
시작할 때 빠르기 0
끝날 때 빠르기 0
조건이 넷이라 숫자(계수)도 넷인 식, 즉 3차 다항식 a + b t + c t 2 + d t 3 a + bt + ct^2 + dt^3 a + b t + c t 2 + d t 3 미분 이 필요해서, 계수를 직접 구하는 건 나중 권에서 해요. 지금은 다항식 하나가 움직임 전체를 표현한다 는 것만 기억하면 돼요.
로봇 제어기는 이 식에 t t t 곱하고 더하는 계산을 1초에도 수백 번 해요. 바로 이 절에서 배운 다항식 계산이에요.
컴퓨터는 다항식을 계수 목록 으로 저장해요. 2 x 2 + 3 x + 1 2x^2 + 3x + 1 2 x 2 + 3 x + 1 [2, 3, 1]. 그래서 다항식 덧셈은 목록끼리 같은 자리 더하기예요. 이 절의 “같은 자리끼리”가 그대로 코드가 돼요(Python 편에서 다시).
다음에 읽을 것
1-2 항등식과 나머지정리 준비 중
공통수학1 진도 13절 중 1절
